O Recursos Humanos fará a parte legal e burocrática da demissão, mas a parte "física" do aviso ao dispensado é de sua responsabilidade.
Se uma pessoa não está mais produzindo e você já tentou outros caminhos como sanar eventuais deficiências técnicas, motivá-la etc, então é preciso demiti-la, porque conservá-la seria injusto para com seus outros subordinados que têm que dar duro para compensar esse desempenho deficiente. E isso não é justo com eles.
Quando alguém precisa ir embora, o importante é demiti-lo ou aposentá-lo ou transferi-lo para outra tarefa...
Confira toda a materia no link: DISPENSAR UM SUBORDINADO